De merkwaardige wiskunde van Domino-kettingreacties

Je hebt waarschijnlijk het domino-effect in actie gezien waarbij een rij staande platen achtereenvolgens omvalt. Meestal zijn de dominostenen allemaal even groot, maar een omvallende dominosteen heeft eigenlijk genoeg momentum om een ​​grotere te duwen. Het is dus mogelijk om een ​​rij achtereenvolgens grotere dominostenen op te zetten die aan het begin kunnen worden omvergeworpen door een kleine plaat te duwen - een dominokettingreactie.

Dus hier is een interessante vraag. Hoeveel groter kan elke volgende dominosteen zijn?

Tegenwoordig pakt JMJ van Leeuwen van de Universiteit Leiden in Nederland dit probleem bij het nekvel en schudt het goed wiskundig. Het blijkt dat het antwoord – de maximale groeifactor – niet zo eenvoudig is als het probleem doet vermoeden.

Er zijn verschillende video's, zoals deze , op internet die een goede demonstratie geven van het kettingreactie-effect. De standaardgedachte is dat een dominosteen een ander ongeveer 1,5 keer zo groot kan omvallen, op voorwaarde dat de afstand ertussen optimaal is.

De basisfysica is eenvoudig. Als een dominosteen op zijn uiteinde staat, wordt een bepaalde hoeveelheid potentiële energie opgeslagen die vrijkomt door hem om te duwen. De kracht die nodig is om de dominosteen omver te werpen, is echter kleiner dan de kracht die wordt gegenereerd wanneer deze valt. Het is deze krachtversterking die kan worden gebruikt om grotere dominostenen omver te werpen.

Maar de duivel zit in de details, want er zijn verschillende manieren waarop de dominostenen energie verliezen als ze omvallen. Een omvallende dominosteen komt bijvoorbeeld op zijn buurman terecht. De botsingen zijn dus inelastisch, wat de belangrijkste bron van verloren energie is. En in de praktijk kunnen de dominostenen over de vloer glijden als ze worden geraakt en dit kan het omvallen ernstig belemmeren.

Van Leeuwen maakt daarom een ​​reeks vereenvoudigingen in zijn wiskundige analyse. Hij gaat ervan uit dat de wrijving tussen de grond en de dominostenen in feite oneindig is, zodat ze niet kunnen schuiven. Hij gaat ervan uit dat de botsingen volledig inelastisch zijn, zodat de dominostenen met elkaar in contact blijven wanneer ze botsen. Ook gaat hij ervan uit dat de dominostenen, eenmaal in contact met elkaar, wrijvingsloos over elkaar glijden.

Gegeven deze aannames laat hij vervolgens zien dat met een optimale afstand elke volgende dominosteen niet meer dan ongeveer twee keer zo groot kan zijn als de vorige, wat een maximale groeifactor is van niet meer dan ongeveer 2.

Dat is aanzienlijk meer dan in het verleden werd aangenomen. Hij geeft toe dat het bereiken van deze limiet in de praktijk waarschijnlijk onrealistisch is, omdat de aannames nooit perfect kunnen kloppen. Domino's glijden bijvoorbeeld altijd een klein beetje weg.

Toch leidt zelfs een groeifactor van 1,5 tot enkele buitengewone kettingreacties. Een reeks van 13 dominostenen die met dit tempo groeien, zal de kracht die nodig is om de kleinste te duwen met een factor 2 miljard vergroten. En er is geen bijzonder lange reeks nodig voordat de grootste dominostenen zo groot zijn als wolkenkrabbers.

Leuke wiskunde!

Referentie: arxiv.org/abs/1301.0615 : Domino Vergroting

zich verstoppen