De wet van Benford en een theorie van alles

In 1938 deed de natuurkundige Frank Benford een buitengewone ontdekking over getallen. Hij ontdekte dat in veel lijsten met getallen die uit echte gegevens zijn getrokken, het eerste cijfer veel waarschijnlijker een 1 is dan een 9. In feite volgt de verdeling van de eerste cijfers een logaritmische wet. Dus het eerste cijfer is waarschijnlijk ongeveer 30 procent van de tijd 1 terwijl het getal 9 slechts vijf procent van de tijd voorkomt.

Dat is een verontrustende en contra-intuïtieve ontdekking. Waarom zijn de getallen niet gelijkmatig verdeeld in dergelijke lijsten? Eén antwoord is dat als getallen dit type verdeling hebben, het schaalinvariant moet zijn. Dus het veranderen van een dataset gemeten in inches naar een dataset gemeten in centimeters zou de verdeling niet moeten veranderen. Als dat het geval is, is de enige vorm die een dergelijke verdeling kan aannemen logaritmisch.

Maar hoewel dit een krachtig argument is, doet het niets om het bestaan ​​van de distributie te verklaren.

Dan is er het feit dat Benford Law alleen van toepassing lijkt te zijn op bepaalde soorten gegevens. Natuurkundigen hebben ontdekt dat het opduikt in een verbazingwekkende verscheidenheid aan datasets. Hier zijn er maar een paar: de gebieden met meren, de lengte van rivieren, de fysieke constanten, beursindexen, bestandsgroottes in een personal computer, enzovoort.

Er zijn echter veel datasets die de wet van Benford niet volgen, zoals loterij- en telefoonnummers.

Wat is het verschil tussen deze datasets waardoor de wet van Benford wel of niet van toepassing is? Het is moeilijk om te ontsnappen aan het gevoel dat er iets diepers aan de hand moet zijn.

Tegenwoordig bieden Lijing Shao en Bo-Qiang Ma van de Peking University in China een nieuw inzicht in de aard van de wet van Benford. Ze onderzoeken hoe de wet van Benford van toepassing is op drie soorten statistische verdelingen die veel worden gebruikt in de natuurkunde.

Dit zijn: de Boltzmann-Gibbs-verdeling, een waarschijnlijkheidsmaatstaf die wordt gebruikt om de verdeling van de toestanden van een systeem te beschrijven; de Fermi-Dirac-verdeling die een maat is voor de energieën van afzonderlijke deeltjes die voldoen aan het Pauli-uitsluitingsprincipe (dwz fermionen); en tenslotte de Bose-Einstein-verdeling, een maat voor de energieën van afzonderlijke deeltjes die niet voldoen aan het Pauli-uitsluitingsprincipe (dwz bosonen).

Lijing en Bo-Qiang zeggen dat de Boltzmann-Gibbs- en Fermi-Dirac-verdelingen beide op een periodieke manier fluctueren rond de Benford-verdeling met betrekking tot de temperatuur van het systeem. De Bose Einstein-verdeling daarentegen voldoet precies aan de wet van Benford, ongeacht de temperatuur.

Wat te denken van deze ontdekking? Lijing en Bo-Qiang zeggen dat logaritmische verdelingen een algemeen kenmerk van statistische fysica zijn en dus een meer fundamenteel principe achter de complexiteit van de natuur kunnen zijn.

Dat is een intrigerend idee. Zou het kunnen dat de wet van Benford verwijst naar een soort onderliggende theorie die de aard van veel fysieke systemen beheerst? Misschien.

Maar hoe zit het dan met datasets die niet voldoen aan de wet van Benford? Elke fatsoenlijke verklaring zal moeten verklaren waarom sommige datasets de wet volgen en andere niet, en het lijkt erop dat Lijing en Bo-Qiang hier nog steeds ver van verwijderd zijn.

Referentie: arxiv.org/abs/1005.0660 : De significante cijferwet in de statistische fysica

zich verstoppen