Dit algoritme kan vertellen welke nummerreeksen een mens interessant zal vinden

Een van de merkwaardige eigenschappen van wiskunde is haar schoonheid. Maar wat wiskundigen precies bedoelen met schoonheid is moeilijk vast te leggen.

Misschien wel het meest bekende voorbeeld is de relatie van Euler, e I π + 1 = 0, wat een diep verband onthult tussen schijnbaar niet-verwante gebieden van de wiskunde. Bijvoorbeeld |__+_| komt uit de geometrie, En en I komen uit de algebra, en de primitieven 0 en 1 samen met de bewerkingen + en = komen uit de getaltheorie. Dat ze op zo'n eenvoudige en onverwachte manier met elkaar in verband staan, is een van de grote wonderen van de wiskundige wereld.

En dat wijst op een ander onderdeel van wiskundige schoonheid: wiskundige patronen moeten op de een of andere manier interessant zijn. Het herkennen van deze interessante patronen is altijd een uniek menselijk vermogen geweest.

Maar de afgelopen jaren zijn machines enorm capabele hulpmiddelen voor patroonherkenning geworden. Ze beginnen inderdaad beter te presteren dan mensen op het gebied van gezichtsherkenning, objectherkenning en een verscheidenheid aan spelrollen.

En dat roept een interessante mogelijkheid op: kunnen algoritmen voor machinaal leren interessante of elegante patronen in de wiskunde identificeren? Zouden ze zelfs scheidsrechters kunnen zijn van wiskundige schoonheid?

Vandaag krijgen we een soort antwoord dankzij het werk van Chai Wah Wu in het TJ Watson Research Center van IBM in de staat New York. Wu heeft een algoritme voor machine learning gebouwd dat heeft geleerd bepaalde soorten elegantie in wiskundige structuren te identificeren en het heeft gebruikt om interessante reeksen uit volledig willekeurige reeksen te filteren.

De techniek maakt gebruik van een ongebruikelijke database genaamd de Online encyclopedie van gehele reeksen , oorspronkelijk gemaakt in de jaren zestig door de wiskundige Neil Sloane en in 1996 op internet geplaatst.

Een geheeltallige reeks is een reeks getallen die volgens een regel zijn geordend. Bekende voorbeelden zijn de priemgetallen - getallen die alleen door zichzelf kunnen worden gedeeld en 1 ( A000040 ); de Fibonacci-reeks, waarin elke term de som is van de vorige twee termen ( A000045 ); en even triviale voorbeelden zoals de reeks oneven getallen of de priemgetallen die beginnen met een 7.

Inderdaad, de wiskundigen die de OEIS runnen, wierpen het net op grote schaal op zoek naar interessante reeksen en hebben dus een breed scala aan voorbeelden opgenomen met puur culturele betekenis. Deze omvatten priemgetallen die de reeks 666 bevatten, het zogenaamde getal van het beest.

De database bevat zelfs de reeks priemgetallen die het getal 667 bevat ( A138563 ). Dit aantal werd als significant beschouwd omdat, toen faxapparaten gebruikelijk waren, mensen vaak een faxnummer hadden dat hun telefoonnummer plus 1 was. Met andere woorden, als hun telefoonnummer 123-4567 was, zou hun faxnummer 123-4568 zijn. Volgens deze manier van denken is 667 het faxnummer van het beest, en dus van culturele betekenis (de redacteuren zijn tenslotte mensen).

Tegenwoordig bevat de Integer Sequence-database zo'n 300.000 sequenties, en elke dag worden er nieuwe ingediend door zowel amateurs als professionals, velen van hen wijzen op nieuwe en interessante problemen in de wiskunde.

De taak die Wu op zich nam, was om een ​​manier te vinden om deze interessante reeksen te onderscheiden van willekeurig gegenereerde. En zijn idee was om empirische wetten te vinden die kunnen fungeren als maatstaven voor interessantheid die ze konden onderscheiden van oninteressante.

Empirische wetten zijn geen wiskundige stellingen per se maar het zijn empirische observaties van relaties die lijken te gelden voor veel natuurlijke en door de mens gemaakte datasets, zegt Wu. Voorbeelden zijn de Wet van Moore in de elektrotechniek en het 80/20 Pareto-principe in de economie. Waarom deze wetten gelden, wordt niet volledig begrepen, maar ze gelden niettemin.

Een empirisch principe dat op veel datasets van toepassing is, is de wet van Benford. Dit werd ontdekt door de Canadese wiskundige en astronoom Simon Newcomb in 1881. Newcomb merkte op dat de eerdere pagina's in boeken met logaritmetabellen zwaarder waren beduimeld dan latere pagina's, wat suggereert dat logaritmen die beginnen met het cijfer 1 vaker voorkwamen.

Dit bracht hem ertoe het principe te formuleren dat in elke reeks gegevens meer getallen met 1 zouden beginnen dan enig ander getal. Hetzelfde idee werd in de jaren dertig herontdekt en gepopulariseerd door Frank Benford.

De wet van Benford is van toepassing op een breed scala aan datasets, zoals elektriciteitsrekeningen, straatadressen, aandelenkoersen, enzovoort. Het is zo voorspelbaar dat het kan worden gebruikt om fraude in financiële rekeningen op te sporen. Maar het is niet van toepassing op willekeurige reeksen. Waarom precies is niet duidelijk.

Het is inderdaad een soort puzzel dat wiskundigen hebben ontdekt dat de wet van Benford van toepassing is op sommige gehele reeksen. Maar hoe breed is het van toepassing in deze reeksen?

Om erachter te komen, heeft Wu gemeten hoe goed de wet de verdeling van de eerste cijfers voorspelt in 40.000 reeksen die willekeurig zijn gekozen uit de OEIS-database.

Het blijkt dat de wet van Benford veel vaker opduikt dan verwacht. De resultaten laten zien dat veel, maar niet alle, sequenties tot op zekere hoogte voldoen aan de wet van Benford, zegt Wu, die ontdekte dat een ander empirisch principe, de wet van Taylor, ook algemeen aanwezig was.

De volgende vraag was een simpele stap verder: kunnen de wet van Benford en de wet van Taylor worden gebruikt om willekeurige reeksen te onderscheiden van die in de OEIS?

Om daar achter te komen, heeft Wu 40.000 reeksen willekeurige gehele getallen gegenereerd en deze toegevoegd aan de 40.000 reeksen geselecteerd uit de OEIS. Vervolgens trainde hij een machine learning-algoritme om OEIS-reeksen te herkennen met behulp van de wet van Benford en Taylor en om ze te onderscheiden van willekeurige reeksen.

De resultaten zijn indrukwekkend. Het algoritme werkte met een nauwkeurigheid van 0,999 en een nauwkeurigheid van 0,9984. Dat is belangrijk omdat het de mogelijkheid biedt van een geautomatiseerd proces voor het spotten van interessante sequenties.

Een toepassing is meteen duidelijk. De wiskundigen die de OEIS runnen, moeten momenteel zo'n 10.000 inzendingen per jaar verwerken. Dus een manier om automatisch de meest interessante te spotten, zou nuttig kunnen zijn.

De aanpak heeft echter enkele belangrijke beperkingen. Wiskundigen hebben veel interessante en belangrijke reeksen gedefinieerd die een oneindig aantal termen hebben, maar moeilijk te berekenen zijn. De database bevat dan ook slechts een handvol van deze termen. Deze zijn uiteraard niet geschikt voor dit soort machinale analyses.

De bredere vraag is of deze benadering elegantie of schoonheid in de wiskunde kan identificeren. Zoals Wu vraagt: kan machine learning kwalitatieve kenmerken van wetenschappelijke kennis identificeren; dat wil zeggen, kunnen we zien of een wetenschappelijk resultaat elegant, eenvoudig of interessant is?

Dit doel is misschien niet helemaal zinloos. Als empirische wetten zoals die van Benford en Taylor een indicator zijn van interessantheid, zoals dit werk suggereert, dan kan dit algoritme misschien worden gezien als een scheidsrechter van elegantie, althans op een bepaald niveau.

Euler, van de gelijknamige relatie en een van de grootste wiskundigen in de geschiedenis, zou zeker gefascineerd zijn.

Referentie: https://arxiv.org/abs/1805.07431 Kan machine learning interessante wiskunde identificeren? Een verkenning met behulp van empirisch waargenomen wetten

zich verstoppen