211service.com
Een neuraal net lost het drielichamenprobleem 100 miljoen keer sneller op
Foto-illustratie met drie rotsen in een Zen-tuin Getty Images/Ms. Tech
In de 18e eeuw was de grote wetenschappelijke uitdaging van die tijd het vinden van een manier voor zeelieden om hun positie op zee te bepalen. Een van de meest succesvolle oplossingen was het meten van de positie van de maan aan de hemel ten opzichte van de vaste achtergrond van sterren.
Vanwege parallax-effecten is deze meting afhankelijk van de positie van de waarnemer. En door de gemeten positie te vergelijken met een tabel met posities berekend voor een waarnemer in Greenwich in Engeland, konden zeelieden hun lengtegraad bepalen.
Er was echter één probleem. Het vooraf berekenen van de positie van de maan is moeilijker dan het lijkt. De zon oefent een kleine maar significante aantrekkingskracht uit op de maan. En dat maakt de beweging van de aarde, de maan en de zon tot een drielichamenprobleem, een probleem waar veel wiskundigen eerder en daarna op zijn gestrand.
De moeilijkheid is dat dit soort beweging met drie lichamen in alle, op enkele speciale gevallen na, chaotisch is. Er is dus geen gemakkelijke manier om hun exacte posities in de toekomst te berekenen. Dit veroorzaakte fouten in de maannavigatietabellen die soms tot onnauwkeurige en mogelijk fatale resultaten leidden.
Desalniettemin maakten zeelieden het beste van deze gebrekkige techniek tot het midden van de 19e eeuw, toen chronometers goedkoop en nauwkeurig genoeg werden om op grote schaal aan boord van schepen te worden gebruikt. Uiteindelijk werd de chronometer-methode, beroemd als pionier van John Harrison, de geprefereerde manier om de lengtegraad te berekenen.
Het drielichamenprobleem blijft wiskundigen echter achtervolgen. Het probleem is tegenwoordig om de structuur van bolvormige sterrenhopen en galactische kernen te bepalen, die afhankelijk zijn van de manier waarop zwart-gat dubbelsterren interageren met enkele zwarte gaten.
De komst van krachtige computers stelt wiskundigen in staat om iteratief de posities van deze zwarte gaten te berekenen. Maar het vereist enorme rekenkracht, en zelfs dan blijven sommige oplossingen buiten hun bereik. Dus een nieuwe, krachtigere manier om het drielichamenprobleem op te lossen is hard nodig.
Voer Philip Breen van de Universiteit van Edinburgh in en een paar collega's, die een neuraal netwerk hebben getraind om dergelijke oplossingen te berekenen. Hun grote nieuws is dat hun netwerk nauwkeurige oplossingen biedt tegen vaste rekenkosten en tot 100 miljoen keer sneller dan een state-of-the-art conventionele solver.
Ze beginnen met een typische trainingsmethode voor neurale netwerken. Dit vereist een database van drieledige problemen met de oplossingen berekend door een state-of-the-art oplosser.
Breen en co vereenvoudigen het probleem eerst door het te beperken tot drie deeltjes van gelijke massa in een vlak, elk met een snelheid van nul om mee te beginnen. Ze kiezen willekeurig de startposities en lossen de drie-lichaamsbeweging op met behulp van een ultramoderne benadering genaamd Brutus. Vervolgens herhalen ze dit proces 10.000 keer.
Het team gebruikt 9.900 voorbeelden om hun neurale netwerk te trainen en 100 om het te valideren. Tot slot testen ze het netwerk met 5.000 geheel nieuwe situaties en door de voorspellingen te vergelijken met die van Brutus.
De resultaten zorgen voor interessante lectuur. Het neurale netwerk voorspelt nauwkeurig de toekomstige beweging van drie lichamen en emuleert in het bijzonder correct de divergentie tussen nabijgelegen banen, nauw aansluitend bij de Brutus-simulaties. We hebben aangetoond dat diepe kunstmatige neurale netwerken snelle en nauwkeurige oplossingen produceren voor het rekenkundig uitdagende drielichamenprobleem gedurende een vast tijdsinterval, zeggen Breen en co.
Bovendien testen ze de voorspellingen van het neurale netwerk door te kijken hoe goed ze energie besparen. Met een paar aanpassingen voldoen de voorspellingen van het netwerk aan de energiebesparingsvoorwaarden met een fout van slechts 10-5.
Dat is een indrukwekkend resultaat met een aanzienlijk potentieel. Breen en co zeggen met name dat het neurale netwerk kan helpen bij het oplossen van drielichamenproblemen in situaties die voor Brutus rekenkundig onhaalbaar worden.
Dus hun visie is om een hybride systeem te creëren. In dit geval zal Brutus al het zware werk doen, maar wanneer de rekenlast te groot wordt, grijpt het neurale netwerk in totdat het weer acceptabel wordt.
Op deze manier moeten neurale netwerken het mogelijk maken om de beweging van zwarte lichamen in galactische kernen en bolvormige sterrenhopen veel nauwkeuriger dan ooit tevoren te simuleren.
En dat is nog maar het begin. Uiteindelijk stellen we ons voor dat dat netwerk kan worden getraind op rijkere chaotische problemen, zoals het 4- en 5-lichamenprobleem, waardoor de rekenlast nog meer wordt verminderd, zeggen Breen en co.
Referentie: arxiv.org/abs/1910.07291 : Newton vs The Machine: het chaotische drielichamenprobleem oplossen met behulp van diepe neurale netwerken