211service.com
Een nieuwe manier om kwadratische vergelijkingen eenvoudig te maken
De oude Babyloniërs waren een opmerkelijk stel. Onder de vele buitengewone prestaties vonden ze een inmiddels beroemde wiskundige oplossing voor een onaangename uitdaging: belasting betalen.
Het specifieke probleem voor de gewone werkende Babyloniër was dit: met hoeveel moet ik de oppervlakte van mijn veld vergroten om het te betalen, gegeven een belastingaanslag die in gewassen moet worden betaald?
Dit probleem kan worden opgeschreven als een kwadratische vergelijking van de vorm Ax2+Bx+C=0. En het wordt opgelost met deze formule:
Vandaag, meer dan 4.000 jaar later, hebben miljoenen mensen de kwadratische formule in hun geheugen gegrift dankzij de manier waarop wiskunde over de hele planeet wordt onderwezen.
Maar veel minder mensen kunnen deze uitdrukking afleiden. Dat komt ook door de manier waarop wiskunde wordt onderwezen - de gebruikelijke afleiding is gebaseerd op een wiskundige truc, het voltooien van het vierkant, die verre van intuïtief is. Inderdaad, na de Babyloniërs duurde het vele eeuwen voordat wiskundigen over dit bewijs struikelden.
Voor en daarna hebben wiskundigen een groot aantal andere manieren gevonden om de formule af te leiden. Maar ze zijn ook allemaal lastig en niet-intuïtief.
Het is dus gemakkelijk voor te stellen dat wiskundigen het probleem moeten hebben uitgeput. Er kan gewoon geen betere manier zijn om de kwadratische formule af te leiden.
Voer Po-Shen Loh in, een wiskundige aan de Carnegie Mellon University in Pittsburgh, die een eenvoudigere manier heeft gevonden - een die de afgelopen 4.000 jaar onopgemerkt lijkt te zijn gebleven.
De aanpak van Loh is niet afhankelijk van het voltooien van het vierkant of andere moeilijke wiskundige trucs. Het is inderdaad eenvoudig genoeg om zelf als een algemene methode te werken, wat betekent dat studenten de formule helemaal niet hoeven te onthouden. De afleiding heeft het potentieel om de kwadratische formule voor studenten over de hele wereld te demystificeren, zegt hij.
De nieuwe aanpak is rechttoe rechtaan. Het begint met op te merken dat als een kwadratische vergelijking op de volgende manier kan worden ontbonden:
Dan is de rechterkant gelijk aan 0 wanneer x=R of wanneer x=S. Dan zouden dat de wortels van kwadratisch zijn.
De rechterkant vermenigvuldigen geeft
Dit is waar wanneer -B=R+S en wanneer C=RS.
Nu komt het slimme stukje. Loh wijst erop dat de getallen, R en S, optellen tot -B als hun gemiddelde -B/2 is.
We zoeken dus twee getallen van de vorm -B/2±z, waarbij z een enkele onbekende grootheid is, zegt hij. We kunnen deze getallen dan met elkaar vermenigvuldigen om een uitdrukking voor C te krijgen. So
Dan geeft een simpele herschikking
Wat betekent dat de oplossing voor een kwadratische vergelijking is:
Voila! Dat is de kwadratische formule.
[De meer algemene versie kan worden afgeleid door de vergelijking Ax2+Bx+C=0 te delen door A om x2+B/Ax+C/A=0 te krijgen en vervolgens het bovenstaande proces te herhalen.]
Dat is een zeer significante verbetering ten opzichte van de vorige methode, en Loh laat zien waarom met een eenvoudig voorbeeld.
Vind de wortels van de volgende kwadratische: x2 - 2x+4=0
De traditionele methode zou zijn om waarden voor A, B en C uit te werken en deze in de kwadratische formule in te vullen. Maar de aanpak van Loh lost het probleem intuïtief op. De eerste stap is te bedenken dat de twee wortels van de vergelijking gelijk moeten zijn aan -B/2±z = 1±z
En omdat hun product C=4 moet zijn, kunnen we schrijven:
Dus de wortels zijn
Hetzelfde probleem proberen met de traditionele methode is veel lastiger. Ga door, geef het een kans! De nieuwe aanpak is veel eenvoudiger en intuïtiever, niet in de laatste plaats omdat de formule helemaal niet hoeft te worden onthouden.
Een interessante vraag is waarom niemand deze methode eerder is tegengekomen en op grote schaal heeft gedeeld.
Loh zegt dat hij 'eigenlijk zeer verbaasd zou zijn als deze benadering tot op de dag van vandaag door mensen is ontgaan, gezien de 4000 jaar geschiedenis over dit onderwerp en de miljarden mensen die de formule en het bewijs ervan zijn tegengekomen. Toch is deze techniek zeker niet wijdverbreid onderwezen of bekend.'
Loh heeft in de geschiedenis van de wiskunde gezocht naar een benadering die op de zijne lijkt, maar zonder succes. Hij heeft gekeken naar methoden die zijn ontwikkeld door de oude Babyloniërs, Chinezen, Grieken, Indiërs en Arabieren, evenals moderne wiskundigen vanaf de Renaissance tot vandaag. Geen van hen lijkt deze stap te hebben gezet, ook al is de algebra eenvoudig en al eeuwen bekend.
Dus waarom nu? Loh denkt dat het verband houdt met de manier waarop de conventionele benadering bewijst dat kwadratische vergelijkingen twee wortels hebben. Misschien is de reden dat het in feite wiskundig niet triviaal is om de omgekeerde implicatie te maken: dat heeft altijd twee wortels, en die wortels hebben som −B en product C, zegt hij.
Loh, een wiskundedocent en een bekende popularisator, ontdekte zijn aanpak tijdens het analyseren van wiskundecurricula voor schoolkinderen, met als doel nieuwe verklaringen te ontwikkelen. Uit dit proces is de afleiding voortgekomen.
De vraag is nu hoe wijdverbreid het zich zal verspreiden en hoe snel. Om adoptie te versnellen, Loh heeft een video gemaakt over de methode . Hoe dan ook, Babylonische belastingcalculators zouden zeker onder de indruk zijn geweest.
Referentie: arxiv.org/abs/1910.06709 : Een eenvoudig bewijs van de kwadratische formule
Correctie: we hebben een zin aangepast om te zeggen dat de methode nog nooit eerder op grote schaal is gedeeld en hebben een citaat van Loh opgenomen.