211service.com
Eerste aperiodieke tegels met een enkele vorm
Het probleem van het betegelen van een vliegtuig heeft bouwers en wiskundigen sinds onheuglijke tijden gefascineerd. Op het eerste gezicht is de taak eenvoudig: vierkanten, driehoeken, zeshoeken doen allemaal de truc om bekende periodieke structuren te produceren. Idem een willekeurig aantal onregelmatige vormen en combinaties daarvan.
Een veel lastiger vraag is om te vragen welke vormen een vlak kunnen betegelen in een patroon dat zich niet herhaalt. In 1962 ontdekte de wiskundige Robert Berger de eerste set tegels die het lukte. Deze set bestond uit 20.426 vormen: geen gemakkelijke set om je badkamer mee te betegelen.
Met een warm respect voor huisverbeteraars heeft Berger de set later teruggebracht tot 104 vormen en anderen hebben het aantal sindsdien verder teruggebracht. Tegenwoordig zijn de meest bekende de Penrose aperiodieke tegels, ontdekt in de vroege jaren 1970, die een vliegtuig kunnen bedekken met slechts twee vormen: vliegers en darts.
Het probleem van het vinden van een enkele tegel die het werk kan doen, wordt het einstein-probleem genoemd; niets te maken met de grote man, maar van het Duits voor één-ein-en voor tile-stein. Maar de zoektocht naar een einstein is vruchteloos gebleken. Tot nu.
Vandaag kondigen Joshua Socolar en Joan Taylor van Duke University aan dat ze het einstein-probleem hebben opgelost en dat ze tijdens het proces een geheel nieuwe manier hebben ontdekt om het probleem aan te pakken.
De tegel die ze hebben ontdekt, is in wezen een gewijzigde zeshoekige vorm. Maar ze gebruiken een paar trucjes om het resultaat te bereiken. Ten eerste staan ze zichzelf toe een tegel en zijn spiegelbeeld te gebruiken om een vlak op een aperiodieke manier te betegelen.
Het is duidelijk dat sommige tegelzetters het gevoel kunnen hebben dat dit de regels een beetje verbuigt, dus Socolar en Taylor laten zien dat het spiegelbeeld niet nodig is als de tegel een 3D-vorm krijgt (zie hieronder).
De hier gepresenteerde tegel is het enige bekende voorbeeld van een aperiodieke tegel, zeggen ze.
Dat is een indrukwekkend resultaat. Nadat Penrose zijn aperiodieke betegeling onthulde, wezen natuurkundigen erop dat bepaalde kristallen soortgelijke patronen aannamen. Het zal interessant zijn om te zien of de natuur de oplossing van Socolar en Taylor ook heeft ontdekt.
Natuurlijk laat het werk een substantieel probleem open: is het mogelijk om een vlak met een niet-herhalend patroon te betegelen met een enkele 2D-tegel?
Ik stel me voor dat Taylor en Socolar op dit moment over een badkamermuur aan het puzzelen zijn.
Referentie: arxiv.org/abs/1003.4279 : Een aperiodische zeshoekige tegel