Hoe de complexe wiskunde van vectorcalculus om te zetten in eenvoudige afbeeldingen?

In 1948 publiceerde het tijdschrift Physical Review een artikel met de titel: Ruimte-tijdbenadering van kwantumelektrodynamica door een jonge natuurkundige genaamd R.P. Feynman aan de Cornell University. Het artikel beschreef een nieuwe manier om problemen in de elektrodynamica op te lossen met behulp van matrices. Tegenwoordig wordt het echter herinnerd voor een veel krachtigere uitvinding - het Feynman-diagram, dat daar voor het eerst in druk verscheen.

Feynman-diagrammen hebben een enorme impact gehad in de natuurkunde. Het zijn afbeeldingen van de wiskunde die de interactie tussen subatomaire deeltjes beschrijven. Wiskundig gezien is elke interactie een oneindige reeks, dus zelfs eenvoudige interacties tussen deeltjes zijn fantastisch complex om op deze manier op te schrijven.

Het geniale van Feynman was om deze reeksen met eenvoudige lijnen in een grafisch formaat weer te geven, waardoor wetenschappers op nieuwe en opwindende manieren over deeltjesfysica konden nadenken.

Feynman en anderen begonnen onmiddellijk hun ideeën uit te breiden met behulp van deze grafische steno. Inderdaad, de Amerikaanse natuurkundige Frank Wilcjek, die in de jaren tachtig met Feynman werkte, schreef ooit: De berekeningen die me uiteindelijk in 2004 de Nobelprijs opleverden, zouden letterlijk ondenkbaar zijn geweest zonder Feynman-diagrammen.

Natuurlijk zijn veel andere gebieden van de natuurkunde afhankelijk van complexe wiskunde. En dat roept de interessante vraag op of op grafische afbeeldingen gebaseerde innovaties deze berekeningen zouden kunnen vereenvoudigen en misschien een nieuw tijdperk van innovatie zouden kunnen inluiden, net zoals Feynman deed.

Ga naar Joon-Hwi Kim van de Seoul National University in Zuid-Korea en een paar collega's die een vergelijkbare innovatie hebben bedacht voor vectorcalculus - een op afbeeldingen gebaseerde steno voor een van de meest voorkomende en krachtige wiskundige hulpmiddelen in de wetenschap. We verwachten dat grafische vectorcalculus de barrières zal verlagen bij het leren en oefenen van vectorcalculus, zoals Feynman-diagrammen deden in de kwantumveldentheorie, zeggen ze.

Eerst wat achtergrond. Vectorcalculus is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de differentiatie en integratie van vectorvelden. De reden waarom het zo belangrijk is in de natuurkunde, is dat min of meer alles in het universum kan worden beschreven in termen van vectorvelden: elektromagnetische velden, zwaartekrachtvelden, vloeistofstroming, enzovoort.

Dat is de reden waarom elke niet-gegradueerde natuurkunde en techniek vele gelukkige uren doorbrengt met worstelen met de wiskunde en de geheimzinnige notatie die het vereist. Het probleem is dat vectorvelden ingewikkelde entiteiten zijn - ze wijzen een enkele vector toe aan elk punt in de driedimensionale ruimte en kunnen zelf representaties zijn van complexere wiskundige objecten die differentieerbare variëteiten worden genoemd. Dus op zijn eenvoudigst kan een vectorveld een oneindige lijst van vectoren zijn.

Wiskundigen vertegenwoordigen deze velden met behulp van een benadering die indexnotatie wordt genoemd. Een vector kan worden geschreven als naar de waar I = 1, 2 of 3 in de driedimensionale ruimte. Een andere manier om dit te schrijven is: = [ naar een, naar twee, naar 3].

De problemen ontstaan ​​wanneer deze grootheden wiskundig op elkaar inwerken. Vectorvelden kunnen worden vermenigvuldigd met scalaire waarden of met elkaar op twee verschillende manieren, ook wel een puntproduct en een kruisproduct genoemd. En de resultaten kunnen fantastisch complex zijn: enorme, multidimensionale matrices.

In al deze gevallen moeten de indices van de betrokken vectorvelden zorgvuldig worden gevolgd. Elke natuurkundige zal weten hoe gemakkelijk het is om een ​​index te verliezen, en de pijn die gepaard gaat met het terugvinden ervan

Dan is er de uitdaging om uit te zoeken hoe deze velden in de loop van de tijd veranderen, of in relatie tot een andere variabele. Dit is het probleem van differentiatie, waarvoor natuurkundigen een reeks hulpmiddelen hebben ontwikkeld die bekend staan ​​als operatoren - misschien wel de meest bekende is de operator .

De vooruitgang die Kim en collega's hebben gemaakt, is het ontwikkelen van een grafische notatie die de indexnotatie vervangt. Ze stellen een vector voor als een doos met een lijn eraan. Daarentegen heeft een scalair geen lijnen die er vanaf lopen.

Wanneer twee vectoren samen vermenigvuldigen via een puntproduct, is het resultaat scalaire grootheid. De notatie van Kim en co zorgt hier automatisch voor. In een puntproduct zijn de lijnen die bij de twee vectoren horen, met elkaar verbonden, waardoor een object zonder externe lijnen ontstaat, met andere woorden een scalair.

Maar een kruisproduct tussen twee vectoren levert een andere vector op, en opnieuw handelt de notatie van Kim en co dit automatisch af. De afbeelding voor een uitwendig product is y-vormig, waarbij de lijnen van de twee vectoren aansluiten op een derde die zich verder uitstrekt. Met andere woorden, dit vormt een vector.

Dit is nog maar het begin. De onderzoekers beschrijven vervolgens een breed scala aan andere wiskundige hulpmiddelen, zoals de del-operator en verschillende belangrijke identiteiten die worden gebruikt in vectorcalculus. En ze breiden hun ideeën uit tot tensoren, wat complexere wiskundige objecten zijn, elk met twee of meer indices.

De resultaten laten een opmerkelijke economie zien. Kim en co laten zien hoe hun notatie complexe wiskundige uitdrukkingen omzet in relatief eenvoudige grafieken, net als Feynman-diagrammen. De taal is zeer intuïtief en vereenvoudigt automatisch tensoriale uitdrukkingen, zeggen ze.

Er is hier een aanzienlijk nut. Kim en co zeggen dat hun aanpak vectorveldcalculus verandert in een visuele taak, vergelijkbaar met bouwen met Legoblokjes. Als kind dat speelt met educatief speelgoed zoals Legoblokken of magnetische bouwstenen, zal het een vermakelijke ervaring zijn om te 'krabbelen met de dansende diagrammen', zeggen ze. Aangezien Feynman-diagrammen de meest natuurlijke taal zijn om het microscopische proces van elementaire deeltjes te beschrijven, is de grafische notatie de canonieke taal van het vectorcalculussysteem.

Dat is een grote claim met een enorm potentieel. Het lijdt geen twijfel dat Feynman-diagrammen de manier waarop natuurkundigen over deeltjesfysica denken hebben veranderd. Maar vectorcalculus heeft een nog groter bereik als de wiskundige basis van veel van de moderne natuurkunde en techniek.

De grote vraag is hoe wijd de ideeën zich zullen verspreiden. Dat zal bepalen of deze grafische notatie een transformatieve verandering teweegbrengt in de manier waarop we over natuurkunde denken of een merkwaardige voetnoot vormt in de geschiedenis van wiskundige uitvindingen. Hoe dan ook, Feynman zou zeker geamuseerd zijn geweest.

Referentie: arxiv.org/abs/1911.00892 : Vectorcalculus versterken met de grafische notatie

zich verstoppen