211service.com
'Infinity Computer' berekent het gebied van Sierpinski-tapijt precies
Een Sierpinksi-tapijt is een van de bekendere fractal-objecten in de wiskunde. Het maken van een is een iteratieve procedure. Begin met een vierkant, verdeel het in negen gelijke vierkanten en verwijder de middelste. Dat laat acht vierkanten over rond een centraal vierkant gat.
Herhaal dit proces in de volgende iteratie met elk van de acht resterende vierkanten enzovoort (zie hierboven).
Een interessant probleem is het vinden van de oppervlakte van een Sierpinski-driehoek. Het is duidelijk dat dit bij elke iteratie verandert. Ervan uitgaande dat het oorspronkelijke vierkant een oppervlakte heeft die gelijk is aan 1, is de oppervlakte na de eerste iteratie 8/9. Na de tweede iteratie is het (8/9) ^ 2; na de derde is het (8/9)^3 enzovoort.
Dus de oppervlakte van een Sierpinski-tapijt na n iteraties is (8/9)^n. Dat is eenvoudig.
Maar wat is de oppervlakte van het tapijt na een oneindig aantal iteraties?
Gewone wiskunde heeft geen antwoord op deze vraag omdat het de tools mist om met oneindigheid om te gaan. In plaats daarvan kijken wiskundigen naar de eigenschappen van het wiskundige systeem en hoe het zich gedraagt als het naar het oneindige neigt. Ze hebben zelfs tal van formele tools om deze limieten te verkennen. Maar de eigenschappen op oneindig moeten worden aangenomen.
In dit geval neigt het oppervlak van het tapijt naar nul omdat het aantal iteraties naar oneindig neigt, zodat het oppervlak van een Sierpinski-tapijt nul is.
Dat laat veel wiskundigen met een zure smaak in de mond. De reden is dat het gebied van een Sierpinski-tapijt dat bijna oneindig is, zeer gevoelig moet zijn voor zijn oorspronkelijke vorm, of het nu een vierkant of een ander patroon is. Maar het proces van het vinden van de grenzen vervaagt dit gedrag.
Bijvoorbeeld, in plaats van te beginnen met een vierkant, stel je voor dat je begint met de vorm in de linkerbovenhoek van de afbeelding hierboven, laten we het een vierkante donut noemen. De vierkante donut bestaat uit acht vierkanten, elk met zijden van 1/3 lengte. Het is duidelijk dat het oppervlak van dit Sierpinksi-tapijt naar nul neigt, terwijl n naar oneindig neigt.
Maar het vierkante donuttapijt is het traditionele Sierpinski-tapijt een stap voor, maar dat gaat verloren in de traditionele benadering. Op oneindig worden ze als gelijk behandeld.
Als dat niet erg belangrijk klinkt, stel je dan voor dat je het proces in omgekeerde volgorde uitvoert, beginnend bij oneindig en achteruit werkend om te eindigen met een vierkante of vierkante donut of een andere vorm in de tapijtreeks.
In dat geval kan elke vorm worden gemaakt met hetzelfde (oneindig) aantal stappen, zodat het niet mogelijk is om ze van elkaar te onderscheiden. Dat is duidelijk absurd.
Tegenwoordig lost Yaroslav Sergeyev, een wiskundige aan de Universiteit van Calabrië in Italië dit probleem op (en de analoge driedimensionale versie die de spons van Menger wordt genoemd).
De laatste jaren pleit Sergeyev voor een nieuw type wiskunde, infinity computing genaamd. Het basisidee is om het begrip oneindig te vervangen door een nieuw getal dat Sergeyev grossone noemt, dat hij als volgt schrijft:
Sergeyev begint met het toevoegen van een nieuw axioma aan het axioma van reële getallen, dat hij het oneindige eenheidsaxioma noemt. Dit introduceert grossone - de oneindige eenheid.
Omdat het wordt bepaald door de andere axioma's van reële getallen, gedraagt grossone zich ook zo. Het is dus mogelijk om grossone te vermenigvuldigen, te delen, op te tellen en af te trekken, net zoals mogelijk is met andere reële getallen.
Dat maakt het werken op oneindig ineens veel gemakkelijker door een rekenproces te gebruiken dat Sergeyev de infinity-computer noemt, waarin het extra axioma is ingebouwd. De introductie van grossone geeft de mogelijkheid om numeriek met eindige, oneindige en oneindig kleine hoeveelheden te werken, zegt hij.
Om te pronken met zijn kracht, werkt hij door de bovenstaande Sierpinski-tapijtvoorbeelden en onthult hij hoe het mogelijk is om het aantal iteraties op oneindig bij te houden door simpelweg reële getallen op te tellen of af te trekken van grossone. Als een vierkant in grove stappen kan worden gemaakt, kan een vierkante donut in -grossone minus 1- stappen worden gemaakt. Op deze manier is het eenvoudig om onderscheid te maken tussen de vormen in de tapijtvolgorde.
Dat ziet er handig uit. Het onvermogen om wiskundige processen op of dichtbij oneindig op een consistente manier bij te houden, heeft wiskundigen en natuurkundigen eeuwenlang gefrustreerd.
Dus als Sergeyev een manier heeft gevonden om dit te omzeilen, is dat duidelijk een zeer belangrijke vooruitgang.
Referentie: arxiv.org/abs/1203.3150 : Evaluatie van de exacte oneindig kleine waarden van het tapijt van Sierpinski en het volume van de spons van Menger